1. 概念解释 ​

冒泡排序 ​

在任意有限实数列 $(a_n)$ 中，对 $a_i$，$i \in \N$ 执行以下操作：

1. 若 $a_i > a_{i+1}$，$i \in \N$，则交换这两项；
2. 若 $a_i \le a_{i+1}$，$i \in \N$，则不进行操作.

当 $a_i$ 完成上述操作后，对于索引 $i$ 所在项完成一次冒泡排序. 当索引 $n - 1$ 所在项完成上述操作后，为一轮冒泡排序完成，重头开始新一轮冒泡排序.

2. 证明 ​

设任意长度为 $n$（$n \in \N^*$）的有限实数列为 $(a_n)$，即 $\forall i \in \N^*$，有 $a_i \in \R$.

若 $n = 1$，显然 $(a_n)$ 为非递减数列.

若 $n > 1$，则有以下证明：

因为 $\R$ 为全序集，所以 $\forall a, b \in \R$ 可比较，因此 $(a_n)$ 任意两项间可比较.

设第 $k$（$k \in \N$）轮冒泡排序后的数列为 $(a_n^{(k)})$，其中 $(a_n^{(0)}) = (a_n)$.

在第一轮冒泡排序时，

对于数列 $(a_n^{(0)})$ 中最大的项 $a_j^{(0)}$，$j \in \N^*$ 有 $\forall i \in \N^*$，$a_i^{(0)} \le a_j^{(0)}$，则 $a_j^{(0)} > a_{j + 1}^{(0)}$，因此 $a_j^{(1)} = a_{j + 1}^{(0)}$，$a_{j+1}^{(1)} = a_j^{(0)}$.

显然，当第一轮冒泡排序结束时，$a_n^{(1)} = a_j^{(0)}$.

对于数列 $(a_n^{(1)})$，由冒泡排序定义可知数列最大项 $a_n^{(1)}$ 已不可进行交换，即 $a_n^{(1)} = a_n^{(2)} = a_n^{(3)} = ...$，即索引 $n$ 所在项不变.

在第二轮冒泡排序时，我们可以将索引 $n$ 所在项排除，构成一个新的长度为 $n - 1$ 的有限实数列 $(a_{n - 1}^{(k)})$.

设数列 $(a_{n - 1}^{(1)})$ 中最大的项为 $a_m^{(1)}$.

同理可得，当第二轮冒泡排序结束时，$a_{n - 1}^{(2)} = a_m^{(1)}$.

因为 $a_{n - 1}^{(2)} \le a_n^{(1)}$，根据冒泡排序定义可知，索引 $n - 1$ 所在项已不能交换，即索引 $n - 1$ 所在项不变.

对于后续轮次的冒泡排序采取同样的做法，则必有项 $a_{n - k + 1}^{(k)}$ 无法再进行交换.

根据冒泡排序定义，索引所在项不变需满足 $a_i \le a_{i + 1}$ ，$i \in \N^*$，所以，对于数列 $(a_{n - k + 1}^{(k)}, ..., a_n^{(k)})$ 也满足上述条件，即数列 $(a_{n - k + 1}^{(k)}, ..., a_n^{(k)})$ 是非递减数列.

当 $n - k + 1 = 2$，即 $k = n - 1$ 时，项 $a_2^{(k)}$ 无法再进行交换. 所以根据上述推导有数列 $(a_{2}^{(k)}, ..., a_n^{(k)})$ 是非递减数列.

此时，$a_1^{(k)}$ 因其他项都无法再进行交换而无法交换，根据冒泡排序定义有 $a_1^{(k)} \le a_2^{(k)}$.

因为数列 $(a_{2}^{(k)}, ..., a_n^{(k)})$ 是非递减数列，又因为 $a_1^{(k)} \le a_2^{(k)}$，所以数列 $(a_{1}^{(k)}, ..., a_n^{(k)})$，即 $(a_n^{(k)})$ 是非递减数列.

所以，当 $n > 1$ 时，数列 $(a_n)$ 在经过 $n - 1$ 轮冒泡排序后形成非递减数列.

综上，对于任意长度为 $n$（$n \in \N^*$）的有限实数列 $(a_n)$，可以通过有限次冒泡排序得到一个非递减数列，即有限实数列进行有限次冒泡排序后的结果必为非递减数列.

$\text{Q.E.D}$